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Stato di sollecitazione in solidi con elasticità lineare.

•  Stato di tensione/deformazione del solido elastico (lineare):

Introduzione alla definizione del tensore della tensione.

Esempio: l’esperimento di Hooke:

            stato di tensione uniassiale (tirante a forma di barra circolare)

            sz=Nz/Az         ,  Nz=EAz(Dl/l)=EAzez            , E, modulo di elasticità lineare

            ez=Dl/l=sz/E    , eq=(2p(r-Dr)-2pr)/2pr=-nez=(-n/E)sz          , er=Dr/r=-nez=(-n/E)sz

            la deformazione è triassiale !

            (esistono effetti anche in direzioni diverse da quella del carico).

NB: lo stato di tensione è descritto da un tensore (doppio simmetrico):

Componenti di tensione su piani diversi dalla sezione normale all’asse della barra:

esempio: sezione An, con: cos(nz)=cos45° e sia: t, l’intersezione fra Az e An:

Nz=szAz            ;   sn=snn=szcos45°cos45°=(1/2)sz          snt=tn=szsin45°sin45°=(1/2)sz

in genere:      sik=sjhnjinhk, con: nji=cos(yjxi), per proiettare linee di forza e giaciture

Un tensore doppio ha due indici (nove componenti, ordinati in una matrice):

            (il vettore ha un indice e, per esempio, tre componenti),

conveniamo di scrivere shk, quindi, per esempio:

- h, specifica la giacitura dell’elemento d’area su cui agisce il componente di tensione,

- k specifica la linea d’azione che caratterizza il componente di tensione.

            stato di tensione biassiale:     sxx, sxy, syy  ; sxy=syx;       dAx=1 dy , dAy=1 dx,

            calcolo delle componenti di tensione riferite all’areola dAn=1 ds:

            cos(xn)=cos(ys)=cosf; cos(xs)=cos(p/2-f)=-sinf; cos(yn)=sinf;

            snnds-sxxdycosf-syydxsinf-sxydycosf-syxdxsinf=0;

            snsds+sxxdysinf-syydxcosf-sxydycosf-syxdxsinf=0;

quindi:

    sn=snn=sxxcos2f+syysin2f+2sxysinfcosf=(1/2)(sxx+syy)+(1/2)(sxx-syy)cos2f+sxysin2f;

    tn=ssn=(syy-sxx)sinfcosf+sxy(cos2f-sin2f)=-(1/2)(sxx-syy)sin2f+sxycos2f;

Cosa avviene cambiando l’elemento d’area rispetto al quale calcolare i componenti del tensore della tensione ?

- tenuto a parametro l’inclinazione f, si esamini la variazione delle componenti di tensione al variare della giacitura dell’areola dAn=1 ds;

1) differenziando la prima rispetto a f ed eguagliando a zero:

            tan2fo=2sxy/(syy-sxx)

si evidenziano due valori dell’angolo 2f e, cioè, le particolari direzioni che corrispondono alla tensione normale massima sM e, rispettivamente, minima sm:

            (sM, sm)= ;

con questo orientamento, la componente tangenziale è nulla (solido isotropo !).

            NB: trasformazione d’assi: X=xcosfo+ysinfo ; Y=ycosfo-xsinfo ;

                         .

2) differenziando la seconda rispetto a f ed eguagliando a zero:

            tan2f*=(syy-sxx)/2sxy,

con questo orientamento, esistono componenti normali.
 

Il tensore delle tensioni è simmetrico (per l’ipotizzata isotropia) e presenta direzioni principali (se si scelgono assi di riferimento che corrispondono con tali direzioni, il tensore ha localmente solo componenti normali).

, sik = ski ;                 => , sI > sII > sIII.

Per descrivere lo stato di tensione (proprietà vettoriale di superficie), occorre ricorrere ad una quantità con due indici: uno, per specificare la giacitura dell’area (infinitesima) su cui agisce; uno, per specificare direzione e verso d’azione. Indici uguali denotano componenti normali; indici distinti denotano componenti tangenziali (che giacciono nell’area).

            il tensore della deformazione: componenti normali e tangenziali

 elemento (orientato) infinitesimo di dimensioni: ux, uy, uz ;  ;

            analisi linearizzata (piccoli spostamenti e piccole deformazioni) euleriana:

Variazioni di lunghezza (allungamenti, accorciamenti): exx=(dux/dx) ; eyy=(duy/dy) ; ezz=(duz/dz) ;

Variazioni angolari (svergolature): exy= ; eyz=; ezx=.

(il tensore è simmetrico !!!!). Rotazioni: qz=; qx=; qy=.

cioè: le equazioni di congruenza (linearizzate e con confusione dei referenziali):

            eij= ; componenti normali: i=j; componenti tangenziali:.

effetti trasversali dei carichi; generalizzazione a lastra finita con doppia trazione:

            Ee11 = [s11- n s22];

            Ee22 = [s22- n s11];

            Ee33 = - n (s11+ s22);

generalizzazione a cubo, con carico su ciascuna faccia:

            Ee11= [s11- n (s22+ s33)] ;

            Ee22= [s22- n (s33+ s11)] ;

            Ee33= [s33- n (s11+ s22)].

campo di validità del modello continuo, elastico, lineare, omogeneo, isotropo.

metalli tecnici: aggregati policristallini –> proprietà sub- inter- e trans-granulari.

snervamento monotono: scostamento dalla linearità e limite di elasticità apparente.

dislocazioni: mobilità sub- e trans-granulare (bande di Lüders)

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